Question

已知：如圖，M是弧AB的中點，過點M的弦MN交弦AB于點C，設⊙O的半徑為4cm，MN=4cm．

（1）求圓心O到弦MN的距離；

（2）猜想OM和AB的位置關系，并說明理由；

（3）求∠ACM的度數(shù)．

Answer 1

（1）2cm（2）OM⊥AB（3）60°

【解析】

試題分析：（1）連接OM，由垂徑定理可知MD=ND，在Rt△MOD中，已知OM、MD，易求OD．

（2）連接OA、OB，由于M是弧AB的中點，易證∠AOM=∠BOM，又OA=OB，利用等腰三角形三線合一的性質，易證OM⊥AB．

（3）利用銳角三角函數(shù)，易求∠OMD=30°，進而易求∠ACM=60°．

【解析】
（1）連接OM，

∵點M是弧AB的中點，

∴OM⊥AB，過點O作OD⊥MN于點D，

由垂徑定理，得MD=MN=2．

在Rt△ODM中，OM=4，MD=2，

∴OD==2

故圓心O到弦MN的距離為2cm．

（2）猜想：OM⊥AB

連接OA、OB，由M是弧AB的中點，

得∠AOM=∠BOM，

又因為OA=OB，所以OM⊥AB．

（3）cos∠OMD=，

∴∠OMD=30°，

∵OM⊥AB，

∴∠ACM=60°．