Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，BF⊥AB交AD的延長線于點F，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長．

Answer 1

（1）證明：連OD，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（等弦對等角），
又∵OD=OA，得∠2=∠3（等角對等邊），
∴∠1=∠3（等量代換），
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）過D作DP⊥AB，P為垂足，
∵AD為∠BAC的平分線，DE=3，
∴DP=DE=3，又⊙O的半徑為5，
在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，則AP=9，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴=，即=，
∴BF=．
分析：（1）由AD平分∠BAC，得到∠1=∠2，而OD=OA，∠2=∠3，所以∠1=∠3，則有OD∥AE，而DE⊥AC，所以O(shè)D⊥DE；
（2）過D作DP⊥AB，P為垂足，則DP=DE=3，由⊙O的半徑為5，在Rt△OPD中，OD=5，DP=3，得OP=4，則AP=9，再由BF⊥AB，得DP∥FB，有=，即可求出BF．
點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了平行線分線段成比例定理．