解:(1)∵AO=4,OB=1,
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:(-4,0),(1,0),
∵∠ACB=90°,
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),則AB
2=AC
2+BC
2,
即(|-4-1|)
2=(-4)
2+y
2+1
2+y
2,
即25=17+2y
2,解得y=2(舍去)或y=-2.
故C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),
(2)設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax
2+bx+c,
則
,
解得
,
故所求二次函數(shù)的解析式為y=
x
2+
x-2.
(3)過C作兩圓的公切線CD交AB于D,則AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(-
,0),
設(shè)過CD兩點(diǎn)的直線為y=kx+b,則
,
解得
,
故此一次函數(shù)的解析式為y=-
x-2,
∵過O
1,O
2的直線必過C點(diǎn)且與直線y=-
x-2垂直,
故過O
1,O
2的直線的解析式為y=
x-2.
由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-
,-
),
代入直線解析式得
×(-
)-2=-
,故這條拋物線的頂點(diǎn)落在兩圓的連心O
1O
2上.
分析:(1)根據(jù)勾股定理求出C點(diǎn)坐標(biāo),利用AO=4,OB=1,即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式;
(3)過C作兩圓的公切線,交AB于點(diǎn)D,由切線長(zhǎng)定理可求出D點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過C,D兩點(diǎn)直線的解析式,根據(jù)過一點(diǎn)且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過兩圓圓心的直線解析式,再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適合即可.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,根據(jù)兩圓外切的條件作出輔助線,結(jié)合拋物線和直線的性質(zhì)解答是解題關(guān)鍵.