Question

如圖，拋物線y=x²-2mx+（m+1）²（m＞0）的頂點(diǎn)為A，另一條拋物線y=ax²+n（a＜0）的頂點(diǎn)為B，與x軸正半軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)P（1，3）在線段AB上（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合）．
（1）求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，且由A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形時(shí)，求a的值？

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、P的坐標(biāo)代入k和b，即可求出答案；
（2）設(shè)C的坐標(biāo)是（x，0），當(dāng)點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)時(shí)求出A的坐標(biāo)和n，得出y=ax²+1，分三種情況①若AB=AC=2

5

，②若AB=BC=2

5

，③若AC=BC，根據(jù)勾股定理求出x，得出C的坐標(biāo)，代入解析式即可求出a．

解答：解：（1）∵y=x²-2mx+（m+1）²（m＞0），
∴y=（x-m）²+2m+1，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，2m+1），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
∵直線過(guò)A、P，把A、P的坐標(biāo)代入得：

2m+1=km+b 3=k+b

，
∵m≠1，
∴k=2，b=1，
∴直線AB的解析式是y=2x+1，
∴B的坐標(biāo)是（0，1），
答：頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1）．

（2）解：設(shè)C的坐標(biāo)是（x，0），
當(dāng)點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)時(shí)，可得A的坐標(biāo)是（2，5），
∵B的坐標(biāo)是（0，1），
∴n=1，
即y=ax²+1，
當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，分以下三種情況：
①若AB=AC=2

5

，
∵AC²=（x-2）²+25，不成立舍去，
②若AB=BC=2

5

，
∵BC²=1+x²，
∵x＞0，
∴x=

19

，
∴C的坐標(biāo)是（

19

，0），
代入y=ax²+1（a＜0）得：a=-

1

19

，
③若AC=BC，
∵AC²=BC²，
（x-2）²+25=1+x²，
∵x＞0，
∴x=7，
∴C的坐標(biāo)是（7，0），
代入求出a=-

1

49

，
綜合上述滿足條件的a有-

1

19

、-

1

49

兩個(gè)，
答：a的值是-

1

19

，-

1

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．