Question

（2000•內(nèi)江）如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為圓心的⊙O的半徑是，過A（0，4）作⊙O的切線交x軸于點(diǎn)B，T是切點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為C（3，-），且拋物線過A、B兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果此拋物線的對(duì)稱軸交x軸于D點(diǎn)，問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可分兩種情況討論：
①當(dāng)△BCD∽△BPO，那么；②當(dāng)△BCD∽△PBO，則有；
根據(jù)上述兩種情況中不同的對(duì)應(yīng)成比例線段可求出不同的符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²-，
已知拋物線過A點(diǎn)，則有：
a（0-3）²-=4，
解得a=
此拋物線的解析式為：y=（x-3）²-

（2）∵B（2，0）；C（3，-）；D（3，0）
∴BD=1，CD=，OB=2
∵要使△BCD∽△OPB
∴只需或
即：或
解得：OP=或4
∴P（0，-）或（0，-4）．
故：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P（0，-）或（0，-4），使△BCD∽△OPB．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（2）題要根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的不同分類進(jìn)行求解，不要漏解．