Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），直線y=-x+6分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P是線段MN上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求M、N的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），寫出△OPA的面積S與y的關(guān)系式；
（3）寫出△OPA的面積S與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）當(dāng)S=10時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（5）當(dāng)△OPA是以O(shè)A為底的等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）分別使直線中y和x為0，解得即為點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形面積公式

1

2

×底×高，其中高為p的縱坐標(biāo)，底為OA長；
（3）由（2）面積S與y的關(guān)系式，又點(diǎn)在直線上，把直線方程代入即可；
（4）根據(jù)（2）（3）把s的值代入即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（5）當(dāng)△OPA是以O(shè)A為底的等腰三角形時(shí)，由等腰三角形性質(zhì)知p的橫坐標(biāo)為OA的中點(diǎn)，即得p的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：
當(dāng)y=0時(shí)，x=6，即M（6，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=6，即N（0，6），
∴M（6，0），N（0，6）；

（2）由題意得：
S=

1

2

×y×|OA|=2y；

（3）由（2）得：S=2y，
又由于點(diǎn)p在直線上，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)滿足方程y=-x+6，代入面積方程得：
S=-2x+12（0＜x＜6）；

（4）當(dāng)S=10時(shí)，分別代入（2）（3）得：
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5）；

（5）當(dāng)△OPA是以O(shè)A為底的等腰三角形時(shí)，由等腰三角形性質(zhì)知p的橫坐標(biāo)為OA的中點(diǎn)，
即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入直線方程得：y=4，即點(diǎn)p坐標(biāo)（2，4）．

點(diǎn)評：本題考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)和坐標(biāo)特征，以及與三角幾何綜合，要熟練掌握一次函數(shù)圖象特征．