Question

【題目】如圖1，一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于點(diǎn)A（1，3），B（m，1），與x軸交于點(diǎn)D，直線OA與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象的另一支交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l垂直于x軸，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)．

（1）k= ；

（2）判斷點(diǎn)B、E、C是否在同一條直線上，并說明理由；

（3）如圖2，已知點(diǎn)F在x軸正半軸上，OF=，點(diǎn)P是反比例函數(shù)（k≠0）的圖象位于第一象限部分上的點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方），∠ABP=∠EBF，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）在同一直線上；（3）， ．

【解析】試題分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入中可求出k的值；

（2）先利用反比例函數(shù)的中心對稱性得到C（﹣1，﹣3），再把B（m，1）代入求出m得到B（3，1），通過確定直線AB的解析式得到D（4，0），接著利用對稱性確定E（2，0），于是利用待定系數(shù)法看球出直線BC的解析式為y=x﹣2，然后判斷點(diǎn)E是否直線BC上；

（3）直線AB交y軸于M，直線BP交y軸于N，如圖2，先確定M（0，4），計算出BM=，BE=，EF=，再證明△BMN∽△BEF，通過相似比計算出MN=，從而得到N（0， ），則利用待定系數(shù)法得到直線BN的解析式為，然后通過解方程組得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）∵A（1，3）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k=1×3=3；

（2）點(diǎn)B、E、C在同一條直線上．理由如下：

∵直線OA與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象的另一支交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴C（﹣1，﹣3），∵B（m，1）在反比例函數(shù)的圖象上，∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），把A（1，3）代入y=﹣x+b得﹣1+b=3，解得b=4，∴直線AB的解析式為y=﹣x+4，當(dāng)y=0時，﹣x+4=0，解得x=4，則D（4，0），∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于直線x=3對稱，∴E（2，0），設(shè)直線BC的解析式為y=px+q，把B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得： ，解得： ，∴直線BC的解析式為y=x﹣2，當(dāng)x=2時，y=x﹣2=0，∴點(diǎn)E在直線BC上，即點(diǎn)B、E、C在同一條直線上；

（3）直線AB交y軸于M，直線BP交y軸于N，如圖2，當(dāng)x=0時，y=﹣x+4=4，則M（0，4），而B（3，1），E（2，0），F（，0），∴BM==，BE==，EF=2﹣=，∵OM=OD=4，∴△OMD為等腰直角三角形，∴∠OMD=∠ODM=45°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于直線x=3對稱，∴∠BED=∠BDE=45°，∴∠BMN=∠BEF=135°，∵∠ABP=∠EBF，∴△BMN∽△BEF，∴，即，解得MN=，∴N（0， ），設(shè)直線BN的解析式為y=ax+n，把B（3，1），N（0， ）代入得： ，解得： ，∴直線BN的解析式為，解方程組，得： 或，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）．

故答案為：3， ， ．