Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，其中點(diǎn)A（-2，4）、點(diǎn)B（4，-2）．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求證：△AOC≌△BOD．

Answer 1

（1）解：把點(diǎn)A（-2，4）、點(diǎn)B（4，-2）代入一次函數(shù)y=ax+b中：
，
解得：，
∴一次函數(shù)解析式為：y=-x+2，
把A（-2，4）代入y=中，
k=-8，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=-；

（2）證明：過A作AE⊥x，過B作BF⊥x，
∵A（-2，4）、B（4，-2），
∴OA²=AE²+EO²=4²+2²=20，
OB²=BF²+FO²=2²+4²=20，
∴OA=OB，
∴∠OAC=∠OBD，
∵y=-x+2，與x，y交于D，C點(diǎn)，
∴C（0，2），D（2，0），
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACO=∠BDO，
∴△AOC≌△BOD（AAS）．
分析：（1）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A（-2，4）、點(diǎn)B（4，-2）代入一次函數(shù)y=ax+b，和反比例函數(shù)y=中，即可得到答案；
（2）首先計(jì)算出OA=OB，可得∠OAC=∠OBD，再計(jì)算出OC=OD，可得∠OCD=∠ODC，利用等角的補(bǔ)角相等可得∠ACO=∠BDO，便可利用AAS定理證明△AOC≌△BOD．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式，以及證明三角形全等的判定，證明全等是此題的一個(gè)難點(diǎn)，關(guān)鍵是與解析式結(jié)合起來求出線段相等，從而得到角相等．