Question

【題目】將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（0°＜a＜360°），得到矩形AEFG

（1）如圖1，當點E在BD上時求證：FD=CD；

（2）當a為何值時，GC=GB？畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）60°或300°

【解析】

（1）先運用SAS證明△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根據(jù)AE=AB=CD,即可得到CD=DF；

（2）當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，分情況討論，根據(jù)∠DAG=60°，即可求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

（1）由旋轉(zhuǎn)可知，AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，

EF=BC=AD,

∴∠AEB=∠ABE，

又∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF

∴∠EDA=∠DEF，

又DE=ED，

∴△AED≌△FDE，

∴DF=AE,

又AE=AB=CD,

∴CD=DF

（2）如圖，當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，

分兩種情況討論

如圖，當點G在AD右側(cè)時，取BC中點H，連接GH交AD于M，

∵GC=GB,

∴GH⊥BC，

∴四邊形ABHM是矩形，

∴AM=BH=AD=AG

∴GM垂直平分AD,

∴GD=GA=DA,

∴△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG=60°，故旋轉(zhuǎn)角為60°；

如圖當點G在AD左側(cè)時，同理可得△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋轉(zhuǎn)角為360°-60°=300°.