Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過(guò)等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）求k的值；
（3）若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使得△PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若點(diǎn)P為x負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的左側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)N，使得△PAN是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）作AD⊥x軸于D
∵△AOB為等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
設(shè)A（a，a），
則a=3a-4，
解得a=2
∴點(diǎn)A（2，2）；

（2）又點(diǎn)A在上，
∴k=4，反比列函數(shù)為；

（3）存在．
設(shè)M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x軸
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4
∵點(diǎn)M在上
∴M（4，1）；

（4）不存在
由（3）中所證易知：
假設(shè)在雙曲線上存在點(diǎn)N，
若△PAN為等腰直角三角形
則：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
則點(diǎn)N在y軸上，
∴點(diǎn)N不在雙曲線上
∴點(diǎn)N不存在．
分析：（1）作AD⊥x軸于D，利用△AOB為等腰直角三角形得到OD=AD=BD，然后設(shè)A（a，a），則a=3a-4，解得a=2從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上將點(diǎn)A代入反比例函數(shù)的解析式即可求得k的值；
（3）設(shè)M（m，n）根據(jù)∠PAM=∠OAB=90°得到∠OAP=∠BAM，從而證得△OAP≌△BAM，得到∠ABM=∠AOP=45°，從而 MB⊥x軸再根據(jù)OB=4求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
（4）過(guò)B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點(diǎn)，連接AQ，過(guò)A點(diǎn)作AP⊥AQ交x軸于P點(diǎn)．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系得出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．