Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O過(guò)點(diǎn)B、C，且交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，已知∠A=∠ABO，連接OE、OF、OB．
（1）求證：四邊形AEOF為菱形；
（2）若BO平分∠ABC，求證：BE=BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AO并延長(zhǎng)AO交BC于M過(guò)O作OQ⊥AB于Q，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；
（2）根據(jù)角平分線定理求出OQ=OM，根據(jù)勾股定理求出BQ=BM，根據(jù)垂徑定理即可推出結(jié)論．
解答：證明：（1）連接AO并延長(zhǎng)AO交BC于M過(guò)O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，連接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠BAC=∠ABO，
∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，
∵OE=OB，OC=OF，
∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，
∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，
∴AE∥OF，AF∥OE，
∴四邊形AEOF是平行四邊形，
∵OE=OF，
∴平行四邊形AEOF為菱形．

（2）∵圓O過(guò)B、C，
∴O在BC的垂直平分線上，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB，
∴OQ=OM，
∴由勾股定理得：BM=BQ，
由垂徑定理得：BE=BC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂徑定理，圓的認(rèn)識(shí)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是證此題的關(guān)鍵．