Question

如圖，D，E在以AB為直徑的半圓上，F(xiàn)，C在AB上，CDEF為正方形，若正方形邊長為1，AC=a，BC=b，則下列式子中，不正確的是（ ）

A．a(chǎn)-b=1
B．a(chǎn)b=1
C．a(chǎn)+b=
D．a(chǎn)²+b²=5

Answer 1

【答案】分析：連OD，則OD²=OC²+CD²=+1²=，即OD=，所以AB=，即a+b=；由AB為直徑，則∠ADB=90°，CDEF為正方形，DC²=AC•BC，即ab=1；再由這兩個關(guān)系式通過計(jì)算可判斷另兩個選項(xiàng)的正誤．
解答：解：∵OD²=OC²+CD²=+1²=，即OD=，
∴AB=，即a+b=；
故C選項(xiàng)對；
又∵AB為直徑，則∠ADB=90°，CDEF為正方形，
∴CD⊥AB，
∴DC²=AC•BC（射影定理），
即ab=1；
故B選項(xiàng)對；
∵（a-b）²=（a+b）²-4ab=（）²-4×1=1，則a-b=1，
故A選項(xiàng)對；
a²+b²=（a+b）²-2ab=（）²-2×1=3．
故D選項(xiàng)錯；
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了勾股定理與代數(shù)式的變形和計(jì)算．