Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，點E沿A→D方向移動，點F沿D→A方向移動，速度都是1cm/s．如果E、F兩點同時移動，且當(dāng)E、F兩點相遇即停止．設(shè)移動時間是t（s）．
（1）當(dāng)BE與CF所在直線的夾角是60°時，t是多少？
（2）當(dāng)四邊形BCFE的對角線BF與CE的夾角是90°時，t是多少？
（3）當(dāng)△ABE的外接圓與△CDF的外接圓外切時，t是多少？

Answer 1

解：（1）當(dāng)BE與CF所在直線的夾角是60°，如圖1，
∵速度都是1cm/s．
∴BE=CF，
∴GE=GF，
∴∠AEB=∠GEF=∠EGF=∠GFE=60°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AE=AB÷tan∠AEB=2=，
∴當(dāng)t=時，BE與CF所在直線的夾角是60°；

（2）如圖2，四邊形BCFE的對角線BF與CE的夾角是90°時，
∵BE=CF，
∴∠EBC=∠FCB
∴△EBC≌△FCB
∴∠BEC=∠CFB
∴△BEG∽△CFG
∴CG=BG，
∵∠BGC=90°，
∴∠FBC=∠ABF=45°，
∴AF=AB=2，DF=1
∵移動速度速度為1cm/s，
∴當(dāng)t=1時，四邊形BCFE的對角線BF與CE的夾角是90°．

（3）如圖3，當(dāng)△ABE的外接圓與△CDF的外接圓外切時，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴兩圓的直徑分別為AE和CF，
∴BE=CF=，
∵AE=DF=t，
∴EF=3-2t，
∴MN=（3-2t+3）÷2=3-t，
∴=3-t，
解得：t=，
∴當(dāng)t=時，△ABE的外接圓與△CDF的外接圓外切．
分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可以得到∠AEB=60°，再利用解直角三角形的知識表示出AE的長即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)兩個動點運動速度相同可以得到∠FBC=∠ECB=45°，從而得到AF=DE=AB；
（3）當(dāng)兩圓向外切時，兩圓的圓心距等于EF與BC和的一半．
點評：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及判定、勾股定理及矩形、等腰梯形的性質(zhì)，解決動點問題的關(guān)鍵是化動為靜．