Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，線(xiàn)段OA，OB的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直線(xiàn)EF與線(xiàn)段AD，BC分別相交于點(diǎn)G，H，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由EF是△OAB的中位線(xiàn)，利用中位線(xiàn)定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線(xiàn)的性質(zhì)可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC與BC的關(guān)系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．
解答：（1）證明：∵EF是△OAB的中位線(xiàn)，
∴EF∥AB，EF=AB，
而CD∥AB，CD=AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC===BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB===；

（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴==，即EG=CD，
同理FH=CD，
∴==．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線(xiàn)定理，銳角三角函數(shù)定義的運(yùn)用．關(guān)鍵是由全等、相似得出相關(guān)線(xiàn)段之間的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系．