Question

（2010•西寧）（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖所示）．設(shè)計(jì)了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．
（Ⅱ）∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判斷P就是∠AOB的角平分線，關(guān)鍵是缺少△OPM≌△OPN的條件，只有“邊邊”的條件；
方案（Ⅱ）中△OPM和△OPN是全等三角形（三邊相等），則∠MOP=∠NOP，所以O(shè)P為∠AOB的角平分線；
（2）可行．此時(shí)△OPM和△OPN都是直角三角形，可以利用HL證明它們?nèi)�等，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明OP為∠AOB的角平分線．
解答：解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少證明三角形全等的條件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線；
方案（Ⅱ）可行．
證明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分線．

（2）當(dāng)∠AOB是直角時(shí)，此方案可行；
∵四邊形內(nèi)角和為360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP為∠AOB的平分線．（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上），
當(dāng)∠AOB不為直角時(shí)，此方案不可行；
因?yàn)椤螦OB必為90°，如果不是90°，則不能找到同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB的點(diǎn)P的位置．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，是一個(gè)開(kāi)放性試題，可以提高學(xué)生解決實(shí)際的能力．