Question

問(wèn)題情境
要圍成面積為36cm²的長(zhǎng)方形，當(dāng)該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最��？最小值是多少？
數(shù)學(xué)模型
設(shè)長(zhǎng)方形的面積為s（s＞0），長(zhǎng)為x（x＞0），周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為

 

探索研究
（1）我們可以借鑒研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索s=1時(shí)的函數(shù)的圖象性質(zhì)．
①填寫(xiě)下表，畫(huà)出函數(shù)的圖象；

x	1 5	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	5
y

②仔細(xì)觀察圖象，描述該函數(shù)圖象隨自變量變化的特征；
（2）在求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（�。┲禃r(shí)，除了通過(guò)觀察圖象，還可以通過(guò)配方得到，請(qǐng)你通過(guò)配方求“數(shù)學(xué)模型”中函數(shù)的最小值．
解決問(wèn)題
用上述方法解決“問(wèn)題情境”中的問(wèn)題，直接寫(xiě)出答案．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：數(shù)學(xué)模型：利用長(zhǎng)方形的面積為s（s＞0），長(zhǎng)為x（x＞0），表示出長(zhǎng)方形的寬，進(jìn)而得出y與x的關(guān)系式；
探索研究：（1）①利用s=1代入，進(jìn)而求出x與y的對(duì)應(yīng)值，畫(huà)出圖象即可；
②利用圖象直接分析函數(shù)增減性即可；
（2）利用配方法求出函數(shù)最值即可；
解決問(wèn)題：利用（2）所求直接得出答案即可．

解答：解：∵設(shè)長(zhǎng)方形的面積為s（s＞0），長(zhǎng)為x（x＞0），周長(zhǎng)為y，
∴長(zhǎng)方形的寬為：

s

x

，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2（x+

s

x

）；
故答案為：y=2（x+

s

x

）；

（1）①由題意得出：y=2（x+

1

x

），

x	1 5	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	5
y	10 2 5	8 1 2	6 2 3	5	4	5	6 2 3	8 1 2	10 2 5

如圖所示：
；

②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而減少；
當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；
當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值4；

（2）y=2（x+

s

x

）
=2[（

x

）²+（

s x

）²]
=2（

x

-

s x

）²+4

s

．
當(dāng)

x

-

s x

=0，即x=

s

時(shí)，y有最小值4

s

；

解決問(wèn)題：
當(dāng)x=

36

=6（cm）時(shí)，y有最小值4

36

=24（cm）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)圖象的畫(huà)法和函數(shù)增減性以及函數(shù)最值問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．