Question

（1997•上海）如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點(diǎn)E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各邊的長．

Answer 1

分析：由AD是⊙O的切線，根據(jù)弦切角定理，可得∠BAE=∠C，又由AE平分∠CAB，過C作AD的垂線，垂足為B，可求得∠C=∠CAE=∠BAE=30°，然后利用三角函數(shù)，求得答案．

解答：解：∵AD是⊙O的切線，
∴∠BAE=∠C，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠C=∠CAE=∠BAE，
∵BC⊥AD，
∴∠ABC=90°，
∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，
∵AE=2，
∴在Rt△BAE中，AB=AE•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2

3

，BC=

AB

tan30°

=3．
∴△ABC各邊的長分別為：AB=

3

，AC=2

3

，BC=3．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．