Question

（2013•江陰市模擬）我們把長與寬之比為

2

的矩形紙片稱為標準紙．不難發(fā)現(xiàn)，將一張標準紙如圖一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙．現(xiàn)有一張標準紙ABCD，AB=1，BC=

2

，那么把它第2012次對開后所得標準紙的周長是

1+ 2

21005

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意求出則第n對開后的長為：（

1

2

）^n-1，寬為：（

1

2

）ⁿ，則周長為：2[（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]=

2(1+ 2 )

( 2 )n

，然后代入求解即可求得答案．

解答：解：∵AB=1，BC=

2

，
∴第一對開后的長為：1，寬為：

2

2

，則周長為：2（1+

2

2

）=2+

2

，
第二對開后的長為：

2

2

，寬為：

1

2

，則周長為：2（

2

2

+

1

2

）=

2

+1，
第三對開后的長為：

1

2

，寬為：

2

4

，則周長為：2（

1

2

+

2

4

）=1+

2

2

，
則第n對開后的長為：（

1

2

）^n-1，寬為：（

1

2

）ⁿ，則周長為：2[（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]=

2(1+ 2 )

( 2 )n

，
∴當n=2012時，所得標準紙的周長是：

1+ 2

21005

．
故答案為：

1+ 2

21005

．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)，屬于規(guī)律性題目，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，注意得到則第n對開后的長為：（

1

2

）^n-1，寬為：（

1

2

）ⁿ，則周長為：2[（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]=

2(1+ 2 )

( 2 )n

是解此題的關鍵．