Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2．
（1）求⊙O的半徑；
（2）將△OBD繞O點旋轉，使弦BD的一個端點與弦AC的一個端點重合，則弦BD與弦AC的夾角為________．

Answer 1

解：（1）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BDC=∠BOD，
而∠CDB=15°，
∴∠BOD=2×15°=30°，
在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2，
∴OE=DE，OD=2DE，
∴DE==2，
∴OD=4，
即⊙O的半徑為4；

（2）有4種情況：如圖：

①如圖1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴弧BC=弧BD，
∴∠CAB=∠BOD=15°，
∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°；
②如圖2所示，∠CAD=75°-15°=60°；
③如圖3所示：∠ACB=90°；
④如圖4所示：∠ACB=60°；
故答案為：60°或90°．
分析：（1）求出∠BOD的度數(shù)，在Rt△ODE中，根據(jù)∠DOE=30°，OE=2，求出DE和OD即可；
（2）分為4種情況，分別求出∠CAB和∠OAB（或∠OAD、∠OCB）的度數(shù)，相加（或相減）即可求出答案．
點評：本題考查了圓周角定理及其推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半；直徑所對的圓周角為直角．也考查了垂徑定理以及角平分線的定義，本題是一道比較容易出錯的題目，注意不能漏解�。�