Question

8．如圖，Rt△AOB中，∠A=90°，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A在x軸正半軸上，已知OA=2，AB=8，點(diǎn)C為AB邊的中點(diǎn)，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線C₁經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）直線OC的解析式為y=2x；拋物線C₁的解析式為y=x²；
（2）現(xiàn)將拋物線C₁沿著直線OC平移，使其頂點(diǎn)M始終在直線OC上，新拋物線C₂與直線OC的另一交點(diǎn)為N．則在平移的過程中，新拋物線C₂上是否存在這樣的點(diǎn)G，使以B、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出此時(shí)新拋物線C₂的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）存在．設(shè)新拋物線C₂與的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），則N（m+2，2m+4），新拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+2m，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y）．分三種情形討論①當(dāng)BM為平行四邊形MNBG的對(duì)角線時(shí)，則有$\frac{2+m}{2}$=$\frac{x+m+2}{2}$，$\frac{2m+8}{2}$=$\frac{y+2m+4}{2}$，推出x=0，y=4，推出點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，4），把（0，4）代入y=（x-m）²+2m，求出m即可．
②當(dāng)BN為對(duì)角線時(shí)，方法類似．③當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，顯然不成立．

解答 解：（1）由題意C（2，4），設(shè)直線OC的解析式為y=kx，則有4=2k，
∴k=2，
∴直線OC的解析式為y=2x，
設(shè)以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線C₁的解析式為y=ax²，把C（2，4）代入得a=1，
∴以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線C₁的解析式為y=x²，
故答案為y=2x，y=x²．

（2）存在．理由如下，
設(shè)新拋物線C₂與的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），則N（m+2，2m+4），新拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+2m．
設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y）．
①當(dāng)BM為平行四邊形MNBG的對(duì)角線時(shí)，則有$\frac{2+m}{2}$=$\frac{x+m+2}{2}$，$\frac{2m+8}{2}$=$\frac{y+2m+4}{2}$，
∴x=0，y=4，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，4），把（0，4）代入y=（x-m）²+2m，得到m=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$，
此時(shí)拋物線C₂的解析式為y=（x+1-$\sqrt{5}$）²-2+2$\sqrt{5}$或y=（x+1+$\sqrt{5}$）²-2-2$\sqrt{5}$．
②當(dāng)BN為對(duì)角線時(shí)，則有$\frac{2+m+2}{2}$=$\frac{x+m}{2}$，$\frac{8+2m+4}{2}$=$\frac{2m+y}{2}$，
∴x=4，y=12，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，12），把（4，12）代入y=（x-m）²+2m，得到m=3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$
∴此時(shí)拋物線C₂的解析式為y=（x-3+$\sqrt{5}$）²+6-2$\sqrt{5}$或y=（x-3-$\sqrt{5}$）²+6+2$\sqrt{5}$．
③當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，顯然不成立．
綜上所述，滿足條件的拋物線C₂的解析式為y=（x+1-$\sqrt{5}$）²-2+2$\sqrt{5}$或y=（x+1+$\sqrt{5}$）²-2-2$\sqrt{5}$或y=（x-3+$\sqrt{5}$）²+6-2$\sqrt{5}$或y=（x-3-$\sqrt{5}$）²+6+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)和判定、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．