Question

現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB=4cm，BC=6cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將紙片沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在四邊形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B′，過E作EF垂直B′C，交B′C于F．
（1）求AE、EF的位置關(guān)系；
（2）求線段B′C的長(zhǎng)，并求△B′EC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可證得△B'EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）連接BB′，通過折疊，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中點(diǎn)，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，從而可證△BB′C為直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可將OB，BB′的長(zhǎng)求出，在Rt△BB′C中，根據(jù)勾股定理可將B′C的值求出，
解答：解：（1）由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′，
∴△B'EC是等腰三角形，
又∵EF⊥B′C
∴EF為∠B'EC的角平分線，即∠B′EF=∠FEC，
由①②得，∠AEF=90°，
即AE⊥EF；

（2）連接BB'交AE于點(diǎn)O，由折線法及點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EB=EB′=EC，
∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；
又∵△BB'C三內(nèi)角之和為180°，
∴∠BB'C=90°；
∵點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)，
∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO²=AB²-AO²=BE²-（AE-AO）²
將AB=4cm，BE=3cm，AE=5cm，
∴AO=cm，
∴BO==cm，
∴BB′=2BO=cm，
∴在Rt△BB'C中，B′C==cm，
由題意可知四邊形OEFB′是矩形，
∴EF=OB′=，
∴S△B′EC=×B′C•EF=××=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．