Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為BC邊上一動點（不與點B重合），過D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE=∠A，以D為圓心、DC的長為半徑作⊙D．
（1）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．
（2）當(dāng)⊙D與AB邊相切時，求BD的長．
（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長為多少時，⊙D與⊙E相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）通過相似三角形△BDE∽△BAC的對應(yīng)邊成比例得到=，把相關(guān)線段的長度代入并整理得到y(tǒng)=5-x（0＜x≤）；
（2）如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點F，連接FD．通過相似三角形△BFD∽△BGA的對應(yīng)邊成比例得到=．DF=6-BD，由勾股定理求得AG=4，BA=5，所以把相關(guān)線段的長度代入便可以求得BD的長度；
（3）分類討論：⊙D與⊙E相外切和內(nèi)切兩種情況．由（1）的相似三角形推知BD=ED．所以如圖2，當(dāng)⊙D與⊙E相外切時．AE+CD=DE=BD；如圖3，當(dāng)⊙D與⊙E相內(nèi)切時．CD-AE=DE=BD．
解答：解：（1）如圖，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴△BDE∽△BAC，
∴=，
∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，
∴=，即y=5-x．
∵0＜x≤6，且0≤y≤5，
∴0＜x≤．
綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及其定義域為：y=5-x（0＜x≤）；

（2）如圖，假設(shè)AB與⊙D相切于點F，連接FD，則DF=DC，∠BFD=90°．
過點A作AG⊥BC于點G，則∠BGA=90°．
∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴=．
又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC
∴BG=BC=3，AG===4，
∴=，解得BD=；

（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，
∴=，即==1，
∴BD=DE．
如圖2，當(dāng)⊙D與⊙E相外切時．
AE+CD=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5-x，
∴5-x+6-x=x，
解得，x=，符合0＜x≤，
∴BD的長度為．
如圖3，當(dāng)⊙D與⊙E相內(nèi)切時．CD-AE=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=5-x，
∴6-x-5+x=x，
解得，x=，符合0＜x≤，
∴BD的長度為．
綜上所述，BD的長度是或．
點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了相切兩圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．遇到動點問題，需要對動點的位置進(jìn)行分類討論．