Question

如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．問(wèn)：
（1）若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓仍交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述

結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如果AB=AC=5cm，sinA=

3

5

，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切？

Answer 1

（1）結(jié)論成立．理由如下：
如圖，連接OD；
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC；
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切線．



（2）當(dāng)圓心O在AB上距B點(diǎn)為3x=

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8

時(shí)，⊙O與AC相切．
如圖所示，⊙O與AC相切于F，⊙O與AB相交于G．則OF⊥AC；
在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；
設(shè)OF=3X，AO=5X，則OB=OG=OF=3X，AG=2X，
∴8x=AB=5，
∴x=

5

8

，此時(shí)OB=3x=

15

8

時(shí)，
即當(dāng)圓心O在AB上距B點(diǎn)為3x=

15

8

時(shí)，⊙O與AC相切．