Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC繞點C順時針旋轉到△A₁B₁C的位置，A₁B₁交直線CA于點D．若AC=6，BC=8，當線段CD的長為________時，△A₁CD是等腰三角形．

Answer 1

6或5或
分析：要使三角形是等腰三角形，可以有三種情況：
①當CD=A₁C=AC=6時，三角形是等腰三角形；
②當CD=A₁D時，根據(jù)等角的余角相等得∠B₁=∠B₁CD，則B₁D=CD，即CD=5時，三角形是等腰三角形；
③當A₁C=A₁D時，首先過點C作CE⊥A₁B₁于E，運用面積法求得A₁D上的高CE是4.8．然后在直角△A₁CE中由勾股定理求出A₁E的長度，從而求得DE的長度．最后在直角△CDE中，由勾股定理求出CD的長度．
解答：三角形是等腰三角形，有如下三種情況：
①當CD=A₁C=AC=6時，三角形是等腰三角形；
②當CD=A₁D時，
∵∠B=90°-∠BCB₁=∠ACB₁，∠B=∠B₁，
∴∠B₁=∠B₁CD，
∴B₁D=CD．
∵CD=A₁D，
∴CD=A₁B₁=5時，三角形是等腰三角形；
③當A₁C=A₁D時，如圖．過點C作CE⊥A₁B₁于E．
∵△A₁B₁C的面積=×6×8=×10×CE，
∴CE=4.8．
在△A₁CE中，∠A₁EC=90°，由勾股定理知A₁E==3.6，
∴DE=6-3.6=2.4．
在△CDE中，∠CED=90°，由勾股定理知CD==．
故當線段CD的長為6或5或時，△A₁CD是等腰三角形．
點評：注意此題的多種情況，運用旋轉的性質得到對應的線段相等，對應的角相等，再進行分析．