Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）²+4，將A（-1，0）點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可，然后令x=0即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，將BM兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b即可求得直線的解析式，令y=0即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）連接PA，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BM，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)列出關(guān)于m的方程，解方程得出符合條件的解即使點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
∴設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）²+4
把A點(diǎn)坐標(biāo)x=-1，y=0代入，得0=a（-1-1）²+4，
∴a=-1
∴拋物線的解析式是y=-（x-1）²+4
即y=-x²+2x+3
令x=0，得y=3，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3）；

（2）設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，
把x=0，y=3；x=1，y=（4分）別代入，得

3=b 4=k+b

，
解得：

k=1 b=3

，
∴直線BM的解析式是y=x+3，
令y=0．得0=x+3，
∴x=-3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，0）；

（3）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P（1，m），其中m＞0．
連接PA，則PA是⊙P的半徑．
在Rt△PAN中，PA=

m2+22

=

m2+4

，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BM，垂足為Q．
則PQ=PA時(shí)，⊙P與直線BM相切．
在Rt△MPQ和Rt△MCN，sin∠CMN=

PQ

PM

=

CN

CM

，
∴

m2+4

4-m

=

4

4 2

，
整理，得m²+8m-8=0，
解這個(gè)方程，得m1=-4+2

6

，m2=-4-2

6

（，舍去）
∴存在滿足題意的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，-4+2

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和三角形的相似及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．