Question

直線y=kx+4分別于x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），P是OB上（O、B兩點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，過P作PC⊥y軸交直線AB于C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，設(shè)線段PC的長為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）
（1）求k的值；
（2）如果點(diǎn)P在線段OB（O、B兩點(diǎn)除外）上移動(dòng)，求l于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OPCD為正方形，將正方形OPCD沿著x軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OPCD于△AOB重疊部分的面積為S．試求S與a的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），代入解析式即可求出k的值；
（2）求出圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的相似可以求出L與m的關(guān)系式；
（3）利用當(dāng)0＜a≤2時(shí)，當(dāng)2≤a＜4時(shí)，分別求出即可．

解答：解：（1）∵y=kx+4與x軸相交于點(diǎn)A，
∴將A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），代入y=kx+4，得：
0=4k+4，
∴k=-1；

（2）由k=-1，可知一次函數(shù)解析式為：y=-x+4，
∴它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4），
∴OB=OA=4，
根據(jù)已知可畫出圖象，如圖所示：
∵設(shè)線段PC的長為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），PC⊥y軸，
∴PC∥OA，
∴PC=BP，
∵PB=4-m，PC=L，
∴L=-m+4，
∵點(diǎn)P在線段OB（O、B兩點(diǎn)除外）上移動(dòng)
∴自變量的取值范圍是：0＜m＜4，
∴L=-m+4（0＜m＜4），

（3）∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OPCD為正方形，
∴正方形OPCD邊長為2，面積為；4；
①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，
設(shè)平移中PC與直線y=-x+4交于E，PD與直線y=-x+4交于F，
由已知可得：CE=CF=a，
S_△EFC=

1

2

a²，S_陰影=4-

1

2

a²=-

1

2

a²+4（0＜a≤2），
②當(dāng)2≤a＜4時(shí)，
設(shè)平移中PO與直線y=-x+4交于G，
由已知可得出：OG=OA=4-a，
S_陰影=

1

2

（4-a）²=

1

2

a²-4a+8（2≤a＜4），
∴S_陰影=

- 1 2 a2+4(0＜a≤2) 1 2 a2-4a+8(2≤a＜4)

．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法，以及相似三角形的性質(zhì)和三角形面積求法等知識(shí)，題目中得出OA=OB，利用三角形相似得出L與m的關(guān)系，這種相似形的應(yīng)用題型是中考中熱點(diǎn)問題．