Question

如圖，⊙0的直徑AB=6cm，P是AB延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙0的切線，切點(diǎn)為C，連接AC，BC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的長；
（2）探究：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上運(yùn)動時，是否總存在∠PCB=∠CAB？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：連接OC，
∵PC為⊙0的切線，
∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，
又∠CPA=30°，AB=6，
∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=，
∴PC=，

（2）存在．
∵PC為⊙O的切線，
∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCB=∠CAB．
分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可知OC⊥PC，則△OPC為直角三角形，OC=3，可根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PC的值；
（2）存在，有切線的性質(zhì)可知∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°，再有圓周角定理可得∠ACB=90°，又因?yàn)閳A的半徑相等即可證明∠PCB=∠CAB．
點(diǎn)評：此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)以及切線定理，屬于基礎(chǔ)題．