Question

（2010•拱墅區(qū)二模）二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，在x軸上方的A點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，設(shè)AD=m，當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意已知二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3，令y=0，得方程-x²+2x+3=0，解出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)，A點(diǎn)在x軸上方的A點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，先假設(shè)∠BAC=90，解出AD此時(shí)AD的長最小，當(dāng)A點(diǎn)在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)AD的長度最大，從而求出m的范圍．
解答：解：∵二次函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)，
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B（-1，0），C（3，0），
∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，
∴D（1，0），
已知點(diǎn)A是x軸上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
假設(shè)∠BAC=90度，
在Rt△ABC中AD為斜邊的中線，
∴AD==2，
此時(shí)A點(diǎn)再向上運(yùn)動(dòng)其角逐漸減小，
在頂點(diǎn)處，AD取最大值，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴AD的最大值為4，
∴2＜m≤4，
故答案為2＜m≤4．
點(diǎn)評：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的特殊點(diǎn)坐標(biāo)，主要研究函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)問題，把銳角與函數(shù)聯(lián)系起來，解題的關(guān)鍵是找到臨界的條件，此題直角為一個(gè)臨界條件，函數(shù)的頂點(diǎn)為另一個(gè)邊界點(diǎn)．