Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB為直徑的⊙O交BＣ于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連結(jié)EP、CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC嗎？說明理由；

（2）(3分)求∠BOP的度數(shù)；

（3）(3分)求證：CP是⊙O的切線；

如果你解答這個(gè)問題有困難，可以參考如下信息：

為了解答這個(gè)問題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個(gè)題目．在進(jìn)行小組交流的時(shí)候，小明說：“設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，證△AOG∽△CPG”；小強(qiáng)說：“過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，證四邊形CHOP是矩形”．

Answer 1

1）BD=DC……………………………………1分

連結(jié)AD，∵AB是直徑,∴∠ADB=90°……………………………………………2分

∵AB=AC，∴BD=DC……………………………………………………………3分

（2）∵AD是等腰三角形ABC底邊上的中線 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD與弧DE是等弧，

∴BD=DE……………4分

∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE  ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°

∴∠DCE=∠ABC=(180°－30°)=75°，∴∠DEC=75°

∴∠EDC=180°－75°－75°=30°

∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分

∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45°

∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°  …………6分

（3）證法一：設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，則∠AOG=∠BOP =90°

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴………………7分

又∵，∴，∴

又∵∠AGO=∠CGP

∴△AOG∽△CPG…………………………………8分

∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切線………………………9分

證法二：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH

在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴………………7分

又∵，∴PO=CH，∴四邊形CHOP是平行四邊形

∴四邊形CHOP是矩形……………………………8分

∴∠OPC=90°，∴CP是⊙的切線………………………9分