如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,3),其頂點(diǎn)為C,對稱軸為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長度(0<m<3)得到另一個(gè)三角形,將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.
(1)y=﹣x2+2x+3
(2)(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3)、(0,3﹣3)
(3)當(dāng)0<m≤時(shí),S=﹣m2+3m;當(dāng)<m<3時(shí),S=m2﹣3m+.
解析試題分析:(1)根據(jù)對稱軸x=1、與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0)、與y軸的交點(diǎn)為B(0,3)可得關(guān)于a、b、c的方程組,解出即可
(2)分①M(fèi)A=M;②AB=AM;③AB=BM三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo).
(3)記平移后的三角形為△PEF.由待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3.易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式.連結(jié)BE,直線BE交AC于G,則G(,3).在△AOB沿x軸向右平移的過程中.分二種情況:①當(dāng)0<m≤時(shí);②當(dāng)<m<3時(shí);討論可得用m的代數(shù)式表示S.
試題解析:(1)由題意可知,,解得,經(jīng)檢驗(yàn)均為方程組的解,
故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)①當(dāng)MA=MB時(shí),M(0,0);
②當(dāng)AB=AM時(shí),M(0,﹣3);
③當(dāng)AB=BM時(shí),M(0,3+3)或M(0,3﹣3).
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3)、(0,3﹣3).
(3)平移后的三角形記為△PEF.
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則
,
解得.
則直線AB的解析式為y=﹣x+3.
△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長度(0<m<3)得到△PEF,
易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m.
設(shè)直線AC的解析式為y=k′x+b′,則
,
解得.
則直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
連結(jié)BE,直線BE交AC于G,則G(,3).
在△AOB沿x軸向右平移的過程中.
①當(dāng)0<m≤時(shí),如圖1所示.
設(shè)PE交AB于K,EF交AC于M.
則BE=EK=m,PK=PA=3﹣m,
聯(lián)立,
解得,
即點(diǎn)M(3﹣m,2m).
故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM
=PE2﹣PK2﹣AF•h
=﹣(3﹣m)2﹣m•2m
=﹣m2+3m.
②當(dāng)<m<3時(shí),如圖2所示.
設(shè)PE交AB于K,交AC于H.
因?yàn)锽E=m,所以PK=PA=3﹣m,
又因?yàn)橹本AC的解析式為y=﹣2x+6,
所以當(dāng)x=m時(shí),得y=6﹣2m,
所以點(diǎn)H(m,6﹣2m).
故S=S△PAH﹣S△PAK
=PA•PH﹣PA2
=﹣(3﹣m)•(6﹣2m)﹣(3﹣m)2
=m2﹣3m+.
綜上所述,當(dāng)0<m≤時(shí),S=﹣m2+3m;當(dāng)<m<3時(shí),S=m2﹣3m+.
考點(diǎn):1、拋物線的對稱軸;2、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;3、分類思想、方程思想的應(yīng)用
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),已知拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A(4,0),B(1,﹣3).
(1)求b,c的值,并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的對稱軸為直線l,點(diǎn)P(m,n)是拋物線上在第一象限的點(diǎn),點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于直線l對稱,點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于y軸對稱,若四邊形OAPF的面積為48,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,設(shè)M是直線l上任意一點(diǎn),試判斷MP+MA是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知二次函數(shù)的圖象過A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三點(diǎn)。
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線,并寫出當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖①,已知等腰梯形ABCD的周長為48,面積為S,AB∥CD,∠ADC=60°,設(shè)AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如圖②,當(dāng)S取最大值時(shí),等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AB和CD的中點(diǎn),求⊙O的半徑R的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2﹣(m+n)x+mn(m>n)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)若m=2,n=1,求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè),C點(diǎn)坐標(biāo)是(0,﹣1),求∠ACB的大;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0,),(3,4).
(1)求拋物線的表達(dá)式及對稱軸;
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn),記拋物線在,之間的部分為圖象(包含,兩點(diǎn)).若直線與圖象有公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖像,求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于A(﹣1,0),B(2,0),交y軸于C(0,﹣2),過A,C畫直線.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P在x軸正半軸上,且PA=PC,求OP的長;
(3)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上,以M為圓心的圓與直線AC相切,切點(diǎn)為H.
①若M在y軸右側(cè),且△CHM∽△AOC(點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
②若⊙M的半徑為 ,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),已知點(diǎn)(-1,0),點(diǎn)C(0,-2).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)試探究的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標(biāo);
(3)此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形.若存在,請寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)若點(diǎn)是線段下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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