已知:拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O(0,0),A(7,4),且對稱軸l與x軸交于點(diǎn)B(5,0).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)如圖,點(diǎn)E、F分別是y軸、對稱軸l上的點(diǎn),且四邊形EOBF是矩形,點(diǎn)C(5,
52
)
是BF上一點(diǎn),將△BOC沿著直線OC翻折,B點(diǎn)與線段EF上的D點(diǎn)重合,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)G是對稱軸l上的點(diǎn),直線DG交CO于點(diǎn)H精英家教網(wǎng),S△DOH:S△DHC=1:4,求G點(diǎn)坐標(biāo).
分析:(1)利用待定系數(shù)法列方程組即可求出二次函數(shù)的系數(shù),從而得到其解析式;
(2)根據(jù)翻折不變性,得到相等的線段和相等的角:BO=DO=5,CD=BC=
5
2
,∠OBC=∠ODC=90°,再根據(jù)互余關(guān)系,得到∠EOD=∠FDC,從而證出△EOD∽△FDC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)列方程解答;
(3)過點(diǎn)H作HP⊥OB,根據(jù)等高的三角形面積比等于底的比,列出等式,求出OH與OC的比,從而得出D、H坐標(biāo),解出直線DG的表達(dá),進(jìn)而求出G點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意得
-
b
2a
=5
c=0
49a+7b+c=4
(1分),
解得
a=-
4
21
b=
40
21
c=0.
,
y=-
4
21
x2+
40
21
x
.(3分)

(2)∵△BOC與△DOC重合,OB=5,BC=
5
2
,
BO=DO=5,CD=BC=
5
2
,∠OBC=∠ODC=90°,
∴∠EDO+∠FDC=90°,又∠EDO+∠EOD=90°,
∴∠EOD=∠FDC,
∵∠OED=∠DFC=90°,
∴△EOD∽△FDC,(2分)
ED
FC
=
EO
DF
=
OD
CD
=
5
5
2
=2
,(1分)
∵四邊形OEFB是矩形,
∴EF=OB,EO=FB,
設(shè)FC=x,則ED=2x,DF=5-2x,
∴EO=10-4x,
10-4x=
5
2
+x
,解,得x=
3
2
,
∴ED=3,EO=4,
∴D(3,4).(1分)

(3)過點(diǎn)H作HP⊥OB,垂足為點(diǎn)P.
∵S△DOH:S△DHC=1:4,
S△DOH
S△DHC
=
OH
HC
=
1
4
,(1分)
∵HP⊥OB,CB⊥OB,
∴HP∥BC,
OH
OC
=
OP
OB
=
PH
BC
=
1
5
,
OP=1,PH=
1
2
,
H(1,
1
2
)
,(1分)
∴經(jīng)過點(diǎn)D(3,4),H(1,
1
2
)
的直線DG的表達(dá)式為y=
7
4
x-
5
4
,(1分)
G(5,
15
2
)
.(1分)
點(diǎn)評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、翻折變換及三角形的面積等知識.主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系:a>b>c.
(1)求證:拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問:是否存在實(shí)數(shù)k,使線段A1B1的長為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•貴陽)已知:直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點(diǎn)P,如圖所示.
(1)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是
(-1,4)
(-1,4)

(2)若直線y=ax+b經(jīng)過另一點(diǎn)A(0,11),求出該直線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:拋物線數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學(xué)公式,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年四川省綿陽市南山中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案