(2012•汕頭模擬)如圖,直角梯形OABC的一頂點O是坐標原點,邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA∥BC,D是BC上一點,BD=
1
4
OA=
2
,AB=3,∠OAB=45°,E、F分別是線段OA、AB上的兩動點,且始終保持∠DEF=45°.

(1)直接寫出D點的坐標;
(2)設OE=x,AF=y,試確定y與x之間的函數(shù)關系;
(3)當△AEF是等腰三角形時,求y的值.
分析:(1)過點B作BF⊥OA于F,由∠OAB=45°,AB=3,即可求得BF與AF的值,又由BD=
1
4
OA=
2
,即可求得CD的長,則可求得D點的坐標;
(2)首先連接OD,由結論(1)知:D在∠COA的平分線上,可得∠DOE=∠COD=45°,又由∠1=∠2,可判定△ODE∽△AEF,根據相似三角形的對應邊成比例,即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系;
(3)當△AEF為等腰三角形時,存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況,分別從這三種情況去分析,利用相似三角形的性質,等腰直角三角形的性質以及矩形的性質求解,即可求得答案.
解答:解:(1)如圖(1),過點B作BM⊥OA于M,
∵∠OAB=45°,
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×
2
2
=
3
2
2

∵BD=
1
4
OA=
2
,
∴OA=4
2
,
∴CD=BC-BD=OM-BD=4
2
-
3
2
2
-
2
=
3
2
2

∴D點的坐標是(
3
2
2
,
3
2
2
)
.(2分)

(2)連接OD,如圖(2),由結論(1)知:D在∠COA的平分線上,
∠DOE=∠COD=45°,
又∵在梯形DOAB中,∠BAO=45°,
∴OD=AB=3,
由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°,
又∵∠2=∠DEA-45°,
∴∠1=∠2,
∴△ODE∽△AEF,
OE
AF
=
OD
AE

即:
x
y
=
3
4
2
-x

∴y與x的解析式為:y=-
1
3
x2+
4
2
3
x;(6分)

(3)當△AEF為等腰三角形時,存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3種情況.
①當EF=AE時,如圖(3),
∴∠EFA=∠DEF=45°,
∴DE∥AB,
又∵DB∥EA,
∴四邊形DEAB是平行四邊形,
∴AE=DB=
2
,
∴AF=
2
AE=2,
∴y=2;
②當AF=AE時,如圖(4),連接OD,
由(2)知△ODE∽△AEF,
OD
AE
=
OE
AF
,
3
4
2
-x
=
x
y

則3y=4
2
x-x2,①,
又OE+AE=4
2
,即x+y=4
2
②,
聯(lián)立①②解得:y=4
2
-3;
③當EF=AF時,如圖(5).∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF為等腰直角三角形.
∴∠AEF=45°,
∵∠DEF=45°,
∴∠DEA=90°,
∴四邊形COED是矩形,
∴OE=CD=
3
2
2
,
∴AE=4
2
-
3
2
2
=
5
2
2
,
∴AF=AE•sin45°=
5
2
;
∴當△AEF為等腰三角形時,y的值為2或4
2
-3或
5
2
.(12分)
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質、直角梯形的性質、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及三角函數(shù)等知識.此題綜合性較強,難度較大,解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想、方程思想與分類討論思想的應用,注意準確作出輔助線.
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2.84×104
2.84×104
噸.

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OM3,OM4,…,OMn,則OMn=
2
n
2
n

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