Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+2x+c與y軸交于點(diǎn)D（0，3）．
（1）直接寫出c的值；
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），頂點(diǎn)為C點(diǎn)，求直線BC的解析式；
（3）已知點(diǎn)P是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足為E，連接BE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
②試探索：在直線BC上是否存在著點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心，半徑為r的⊙P，既與拋物線的對(duì)稱軸相切，又與以點(diǎn)C為圓心，半徑為1的⊙C相切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將D（0，3），直接代入解析式求出即可；
（2）分別求出頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4）以及令y=0得x₁=-1，x₂=3得出B（3，0），代入一次函數(shù)解析式即可得出直線BC的解析式；
（3）根據(jù)s=

1

2

PE•OE=

1

2

x(-2x+6)=-x2+3x，求出s最大值即可，再根據(jù)當(dāng)⊙P與⊙C外切時(shí)，以及當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，分別得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）c=3．

（2）由（1）知拋物線為：y=-x²+2x+3，配方得y=-（x-1）²+4
∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，4）
令y=0得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0）
設(shè)直線BC解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，
解得：k=-2，b=6，
∴直線BC解析式為：y=-2x+6，

（3）①∵點(diǎn)P（x，y）在y=-2x+6的圖象上，
∴PE=x，OE=-2x+6
∴s=

1

2

PE•OE=

1

2

x(-2x+6)=-x2+3x
∴s=-x²+3x  （1＜x＜3），
s=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

=-（x-

3

2

）²+

9

4

．
∵x=

3

2

符合1＜x＜3，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，s取得最大值，最大值為

9

4

．
②答：存在．
如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=2．
過(guò)P作PQ⊥CF于Q，則Rt△CPQ∽R(shí)t△CBF
∴

CQ

CF

=

PQ

BF

，即

CQ

4

=

r

2

，
∴CQ=2r，
當(dāng)⊙P與⊙C外切時(shí)，CP=r+1．
∵CQ²+PQ²=CP²，
∴（2r）²+r²=（r+1）²
解得r=

1+ 5

4

，(r=

1- 5

4

舍去）．
此時(shí)P1(

5+ 5

4

，

7- 5

2

)，P2(

3- 5

4

，

9+ 5

2

)．
當(dāng)⊙P與⊙C內(nèi)切時(shí)，CP=|r-1|．
∵CQ²+PQ²=CP²，
∴（2r）²+r²=（r-1）²．
解得r=

-1+ 5

4

，(r=

-1- 5

4

舍去）．
此時(shí)P3(

3+ 5

4

，

9- 5

2

)，P4(

5- 5

4

，

7+ 5

2

)．
∴當(dāng)⊙P與⊙C相切時(shí)．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(

5+ 5

4

，

7- 5

2

)，P2(

3- 5

4

，

9+ 5

2

)，P3(

3+ 5

4

，

9- 5

2

)，P4(

5- 5

4

，

7+ 5

2

)．
（點(diǎn)P的坐標(biāo)只寫1個(gè)不得分，寫出2個(gè)或3個(gè)得（1分），寫出4個(gè)得2分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及直線解析式的求法，根據(jù)圓與圓的相切時(shí)分類討論，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．