Question

已知函數(shù)y₁=ax²+bx+c，y₂=ax+b（a＞b＞c），當(dāng)x=1時，y₁=0．
（Ⅰ）證明：y₁與y₂的圖象有2個交點；
（Ⅱ）設(shè)y₁與y₂的圖象交點A，B在x軸上的射影為A₁，B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,根的判別式

專題：

分析：（1）將兩個解析式組成一個方程組后，然后轉(zhuǎn)化為一個一元二次方程，由根的判別式就可以得出結(jié)論．
（2）由條件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的橫坐標(biāo)，由數(shù)軸上的點表示出A₁B₁的值，確定出

b

a

的取值范圍，從而確定出A₁B₁的范圍，得出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)自變量x=1時函數(shù)值為0，將其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正負不能確定，
聯(lián)系兩個函數(shù)，即兩線相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴兩個函數(shù)圖象必有兩個不同的交點；

（2）上述兩函數(shù)圖象的交點A．B在x軸上的射影分別為A₁．B₁，
根據(jù)A₁，B₁為ax²+bx+c=ax+b的兩根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有兩根為
x₁=

a-b+ (b-a)2-4a(c-b)

2a

，x₂=

a-b- (b-a)2-4a(c-b)

2a

，
A₁B₁=

(b-a)2-4a(c-b)

a

=

(b+a)2-4ac

a

=

( b a +1)2- 4c a

，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=

( b a +1)2+ 4(b+a) a

=

( b a +1)2+4( b a +1)+4-4

=

( b a +3)2-4

． 　　　　
由a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　

b

a

＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜

b

a

＜1分別代入A式為，
∴

3

2

＜A₁B₁＜2

3

．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式，勾股定理的運用，函數(shù)值的運用及韋達定理的運用，利用韋達定理得出|A₁B₁|的取值范圍是解題關(guān)鍵．