Question

已知直線y=2x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線過(guò)點(diǎn)A，C和另一點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求此拋物線的解析式，并畫(huà)出它的圖象；
（2）在直線AC上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于△AMC的面積的4倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知直線的解析式，可求得A、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式．
（2）在Rt△AOC中，OC=2OA，若以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，那么△ABP也必為直角三角形，且直角邊的比為1：2，由于∠BAP不是直角，因此要分類(lèi)兩種情況考慮：
①∠ABP=90°，過(guò)B作x軸的垂線，交直線AC于P，此時(shí)BP=2AB，符合題意，將B點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②∠APB=90°，過(guò)B作直線AC的垂線，此時(shí)BP=2AP，也符合題意，過(guò)P作PH⊥x軸于H，首先根據(jù)相似三角形：Rt△AOC∽R(shí)t△APB求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)Rt△APH∽R(shí)t△ABP求出AH的長(zhǎng)，從而根據(jù)OH=OA-AH求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，將其代入直線AC的解析式中，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的解析式，易求得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，分析圖形，可過(guò)M作MF⊥x軸，由梯形MCOF、△AFM的面積和再減去△AOC的面積就可得到△AMC的面積，進(jìn)而可求出△ABQ的面積，而AB的長(zhǎng)易求得，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中，即可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）令x=0，則y=-4；令y=0，則2x-4=0，從而x=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）；
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（-1，0），
∴y=a（x-2）（x+1），（2分）
又拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，-4），
∴a•（-2）×1=-4，
∴a=2；（3分）
∴所求拋物線的解析式為y=2（x-2）（x+1）=2x²-2x-4．（4分）
∵=，
∴它的圖象如圖所示；（5分）

（2）∵△AOC是直角三角形，且|OA|=2，|OC|=4，
所作三角形必須是直角三角形，且兩直角邊的比是1：2；
①如圖，過(guò)點(diǎn)B作BP₁⊥x軸，交直線AC于P₁，（6分）
則由BP₁∥OC知Rt△ABP₁∽R(shí)t△AOC；
∴P₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，
∴P₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=2×（-1）-4=-6；
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-6）．（7分）
②∵|OA|=2，|OC|=4，
∴；
作BP₂⊥AC于P₂，如圖，（8分）
∵∠AOC=90°，∠AP₂B=90°，又∠CAO=∠BAP₂，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△AP₂B；
∴，
∴；
作P₂H⊥AB于H，則Rt△AP₂H∽R(shí)t△ABP₂；
∴，
∴；
∴；（9分）
把代入y=2x-4，得；
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
∴在直線AC上存在兩點(diǎn)P₁（-1，-6），，使△ABP與△AOC相似．（10分）

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)是，
∴它的對(duì)稱(chēng)軸是直線．（11分）
假設(shè)在拋物線y=2x²-2x-4上存在點(diǎn)Q，使S_△ABQ=4S_△AMC；
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于，
則S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△AOC
==；（12分）
又△ABQ的面積S_△ABQ滿足S_△ABQ=4S_△AMC
∴
∴，
∴|y|=4，
∴y=±4；（13分）
當(dāng)y=4時(shí)，2x²-2x-4=4，即x²-x-4=0，
解之得；
當(dāng)y=-4時(shí)，2x²-2x-4=-4即2x²-2x=0，
解之得x=0或x=1；
因此，在拋物線y=2x²-2x-4上存在點(diǎn)Q，使S_△ABQ=4S_△AMC，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，
（0，-4），（1，-4）．（14分）
（注：表示“線段的長(zhǎng)”不用“||”號(hào)，均不扣分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識(shí)，（2）題中，由于相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊不確定，一定要分類(lèi)討論，以免漏解．