Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AD上任意一點，BE的垂直平分線FG交對角AC于點F．求證：（1）BF＝DF；（2）BF⊥FE．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】分析：（1）由正方形的性質得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS證明△BAF≌△DAF，得出對應邊相等即可；

（2）由線段垂直平分線的性質得出BF=EF，證出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性質證出∠ABF=∠FED，由鄰補角關系得出∠FED+∠FEA=180°，證出∠ABF+∠FEA=180°，由四邊形內角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．

詳解：證明：如圖所示：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，

在△BAF和△DAF中，

，

∴△BAF≌△DAF（SAS），

∴BF=DF；

（2）∵BE的垂直平分線FG交對角AC于點F，

∴BF=EF，

∵BF=DF，

∴EF=DF，

∴∠FDE=∠FED，

∵△BAF≌△DAF，

∴∠ABF=∠FDE，

∴∠ABF=∠FED，

∵∠FED+∠FEA=180°，

∴∠ABF+∠FEA=180°，

∴∠BAE+∠BFE=180°，

∴∠BFE=90°，

∴BF⊥FE．