Question

如圖，⊙O是Rt的外接圓，，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA = PB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）已知，，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OB．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．

∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，

即∠PAO=∠PBO         

又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，

∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB ．        

又∵OB是⊙O半徑，

∴PB是⊙O的切線．               

說明：還可連接OB、OP，利用△OAP≌△OBP來證明OB⊥PB．

（2）解：連接OP，交AB于點D．

∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．

∵OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．

∴OP垂直平分線段AB．                    

∴∠PAO=∠PDA =90°．

又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．

∴，∴AP² = PO?DP．

又∵OD =BC =，∴PO（POOD）=AP²．

即：PO²PO=，解得  PO=2．                 

在Rt△APO中，，即⊙O的半徑為1．   

說明：求半徑時，還可證明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．