Question

（2012•紅橋區(qū)一模）已知a、b均為正數(shù)，且a+b=2，求代數(shù)式

a2+4

+

b2+1

的最小值

13

．

Answer 1

分析：將代數(shù)式

a2+4

+

b2+1

轉(zhuǎn)化為

(b-2)2+(0-2)2

+

(b-0)2+(0-1)2

，理解為點(diǎn)P（b，0）到A（2，2）與C（0，1）的距離，利用勾股定理解答即可．

解答：解：將a+b=2轉(zhuǎn)化為a=2-b，代入

a2+4

+

b2+1

得，

(b-2)2+(0-2)2

+

(b-0)2+(0-1)2

，
可理解為點(diǎn)P（b，0）到A（2，2）與C（0，1）的距離．
如圖：找到C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，
可見(jiàn)，AB的長(zhǎng)即為求代數(shù)式

a2+4

+

b2+1

的最小值．
∵AB=

22+32

=

13

，
∴

a2+4

+

b2+1

的最小值為

13

．
故答案為：

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線的問(wèn)題，難度較大，解題關(guān)鍵是將求代數(shù)式的值巧妙的轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．