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如圖，拋物線y=ax²+bx-3交y軸于點C，直線l為拋物線的對稱軸，點P在第三象限且為拋物線的頂點．P到x軸的距離為 $數學公式$ ，到y(tǒng)軸的距離為1．點C關于直線l的對稱點為A，連接AC交直線l于B．
（1）求拋物線的表達式；
（2）直線y= $數學公式$ x+m與拋物線在第一象限內交于點D，與y軸交于點F，連接BD交y軸于點E，且DE：BE=4：1．求直線y= $數學公式$ x+m的表達式；
（3）若N為平面直角坐標系內的點，在直線y= $數學公式$ x+m上是否存在點M，使得以點O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3交y軸于點C
∴C（0，-3）則 OC=3；
∵P到x軸的距離為 $\text{[math]}$ ，P到y(tǒng)軸的距離是1，且在第三象限，
∴P（-1，- $\text{[math]}$ ）；
∵C關于直線l的對稱點為A
∴A（-2，-3）；
將點A（-2，-3），P（-1，- $\text{[math]}$ ）代入拋物線y=ax²+bx-3中，有：
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴拋物線的表達式為y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-3．

（2）過點D做DG⊥y 軸于G，則∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，則DG=4，點D的橫坐標為4；
將x=4代入y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-3中，得y=5，則 D（4，5）．
∵直線y= $\text{[math]}$ x+m過點D（4，5）
∴5= $\text{[math]}$ ×4+m，則 m=2；
∴所求直線的表達式y(tǒng)= $\text{[math]}$ x+2．

（3）由（2）的直線解析式知：F（0，2），OF=2；
設點M（x， $\text{[math]}$ x+2），則：OM²= $\text{[math]}$ x²+3x+4、FM²= $\text{[math]}$ x²；
（Ⅰ）當OF為菱形的對角線時，點M在線段OF的中垂線上，則點M的縱坐標為1；
∴ $\text{[math]}$ x+2=1，x=- $\text{[math]}$ ；即點M的坐標（- $\text{[math]}$ ，1）．
（Ⅱ）當OF為菱形的邊時，有：
①FM=OF=2，則： $\text{[math]}$ x²=4，x₁= $\text{[math]}$ 、x₂=- $\text{[math]}$
代入y= $\text{[math]}$ x+2中，得：y₁= $\text{[math]}$ 、y₂= $\text{[math]}$ ；
即點M的坐標（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
②OM=OF=2，則： $\text{[math]}$ x²+3x+4=4，x₁=0（舍）、x₂=- $\text{[math]}$
代入y= $\text{[math]}$ x+2中，得：y= $\text{[math]}$ ；
即點M的坐標（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
綜上，存在符合條件的點M，且坐標為（- $\text{[math]}$ ，1）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知點P到坐標軸的距離以及點P所在的象限，先確定點P的坐標；而點A、C關于拋物線對稱軸對稱，先求出點A的坐標，再由點A、P、C以及待定系數法確定二次函數的解析式．
（2）過點D作y軸的垂線，通過構建的相似三角形先求出點D的橫坐標，代入拋物線的解析式中能確定點D的坐標；再由待定系數法求直線DF的解析式．
（3）由（2）的結論可先求出點F的坐標，先設出點M的坐標，則OF、OM、FM的表達式可求，若以O、F、M、N為頂點的四邊形為菱形，那么可分兩種情況：
①以OF為對角線，那么點M必為線段OF的中垂線與直線DF的交點，此時點M的縱坐標為點F縱坐標的一半，代入直線DF的解析式后可得點M的坐標；
②以OF為邊，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出點M的坐標．
點評：此題主要考查的知識點有：利用待定系數法確定函數解析式、菱形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質等．最后一題容易漏解，一定要根據菱形頂點排列順序的不同進行分類討論．

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