Question

【題目】如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵⊙O切BC于D，

∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC∥OD，

∴∠CAD=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠CAD，

即AD平分∠CAB

（2）設(shè)EO與AD交于點M，連接ED．

∵∠BAC=60°，OA=OE，

∴△AEO是等邊三角形，

∴AE=OA，∠AOE=60°，

∴AE=AO=OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，

∴S△AEM=S△DMO，

∴S陰影=S扇形EOD= = ．

【解析】（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．（2）如圖，連接ED，根據(jù)（1）中AC∥OD和菱形的判定與性質(zhì)得到四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．