Question

如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，BC∥AO，頂點O在坐標原點，頂點A（4，0），頂點B（1，4），動點P從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿A→B→C的方向向C運動．當其中一個點到達終點時，另一個也隨之停止．設運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，PB與AQ互相平分？
（2）設△PAQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式．當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知得出0≤t≤3，過B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根據(jù)PB與AQ互相平分得出Q在BC上，根據(jù)平行四邊形的性質和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
（2）①當0≤t＜時，點Q在線段AB上運動，OP=t．AQ=2t，過Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=t，求出S=-（t-2）²+，求出當t=2時，S有最大值是；②當≤≤3時，求出S=•（4-t）•4=8-2t，求出當t=時，S有最大值是3，即可得出答案；
（3）①當0≤t＜時，點Q在線段AB上運動，求出P的坐標、Q的坐標，求出PQ²=（4-t-t）²+（t）²，求出PQ的中點的橫坐標是2-，得出方程2-=PQ，代入求出即可；
②當≤t≤3時，得出方程（3-）²=（9t²-36t+52），求出即可．
解答：解：（1）由題意得：0≤t≤3，
過B作BD⊥OA于D，
則四邊形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB==5，
若PB與AQ互相平分，則Q在BC上，四邊形PABQ是平行四邊形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；

（2）①當0≤t＜時，點Q在線段AB上運動，OP=t．AQ=2t，
如圖1，過Q作QH⊥OA于H，
則QH=QA•sin∠OAB=2t•=t，
即S=PA•QH=•（4-t）•t
=-（t-2）²+，
∵a=-＜0，
∴當t=2時，S有最大值是；
②當≤≤3時，點Q在線段BC上運動，
∴S=•（4-t）•4=8-2t，
∵-2＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當t=時，S有最大值是3，
綜合上述，當t=2時，S有最大值是；

（3）①如圖2，當0≤t＜時，點Q在線段AB上運動，
由題意得：P的坐標是（t，0），Q的坐標是（4-t，t），
PQ²=（4-t-t）²+（t）²=t²-t+16，
PQ的中點的橫坐標是（t+4-t）÷2=2-，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則2-=PQ，
∴（2-）²=（t²-t+16），
解得：t=0（舍去），t=，
∵＜，
∴t=符合題意；
②當≤t≤3時，即Q在線段BC上運動時，
由題意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ²=（6-2t-t）²+16=9t²-36t+52，
PQ的中點的橫坐標是，即3-，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則3-=PQ，
∴（3-）²=（9t²-36t+52），
解得：t=1或t=2，均不符合題意，舍去．
綜上所述，存在時刻t=，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切．
點評：本題考查了矩形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，切線的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．