Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，BC∥AO，頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)B（1，4），動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C的方向向C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PB與AQ互相平分？
（2）設(shè)△PAQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知得出0≤t≤3，過(guò)B作BD⊥OA于D，得出矩形OCBD，求出OA=OC=BD=4，BC=1，AD=3，AB=5，根據(jù)PB與AQ互相平分得出Q在BC上，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出4-t=2t-5，求出即可；
（2）①當(dāng)0≤t＜時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，OP=t．AQ=2t，過(guò)Q作QH⊥OA于H，求出QH=QA•sin∠OAB=t，求出S=-（t-2）²+，求出當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值是；②當(dāng)≤≤3時(shí)，求出S=•（4-t）•4=8-2t，求出當(dāng)t=時(shí)，S有最大值是3，即可得出答案；
（3）①當(dāng)0≤t＜時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，求出P的坐標(biāo)、Q的坐標(biāo)，求出PQ²=（4-t-t）²+（t）²，求出PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2-，得出方程2-=PQ，代入求出即可；
②當(dāng)≤t≤3時(shí)，得出方程（3-）²=（9t²-36t+52），求出即可．
解答：解：（1）由題意得：0≤t≤3，
過(guò)B作BD⊥OA于D，
則四邊形OCBD是矩形，
∵A（4，0），B（1，4），
∴OA=OC=BD=4，BC=1，AD=4-1=3，
∴AB==5，
若PB與AQ互相平分，則Q在BC上，四邊形PABQ是平行四邊形，
∴PA=QB，
即4-t=2t-5，
∴t=3；

（2）①當(dāng)0≤t＜時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，OP=t．AQ=2t，
如圖1，過(guò)Q作QH⊥OA于H，
則QH=QA•sin∠OAB=2t•=t，
即S=PA•QH=•（4-t）•t
=-（t-2）²+，
∵a=-＜0，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值是；
②當(dāng)≤≤3時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)，
∴S=•（4-t）•4=8-2t，
∵-2＜0，
∴S隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值是3，
綜合上述，當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值是；

（3）①如圖2，當(dāng)0≤t＜時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
由題意得：P的坐標(biāo)是（t，0），Q的坐標(biāo)是（4-t，t），
PQ²=（4-t-t）²+（t）²=t²-t+16，
PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（t+4-t）÷2=2-，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則2-=PQ，
∴（2-）²=（t²-t+16），
解得：t=0（舍去），t=，
∵＜，
∴t=符合題意；
②當(dāng)≤t≤3時(shí)，即Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由題意P（t，0），Q（6-2t，4），
PQ²=（6-2t-t）²+16=9t²-36t+52，
PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，即3-，
若以PQ為直徑的圓與y軸相切，則3-=PQ，
∴（3-）²=（9t²-36t+52），
解得：t=1或t=2，均不符合題意，舍去．
綜上所述，存在時(shí)刻t=，使得以PQ為直徑的圓與y軸相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．