(2007•泰州)如圖①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30度.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為,AB=10,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0,2)出發(fā),沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變,那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大;沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小,當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)已知了AB的長和B點(diǎn)的坐標(biāo),那么sin∠BAO==,因此∠BAO=60°
(2)由函數(shù)的圖形可知:當(dāng)t=5時(shí),三角形OPQ的面積是30,如果設(shè)點(diǎn)P的速度為a,那么AP=5a,那么P到AC的距離就是a,也就是P到OQ的距離為10-a.OQ=QD+OD=5a+2.因此(5a+2)×(10-)×=30,解得a=1.6,a=2.由于拋物線的解析式為S=(at+2)(10-)×,經(jīng)化簡(jiǎn)后可得出對(duì)稱軸應(yīng)該是t=,當(dāng)a=1.6時(shí),對(duì)稱軸t=5.625顯然大于5,與給出的拋物線的圖形不相符,因此a=2是本題的唯一的解.也就是說P的速度是2單位/秒.
(3)根據(jù)(2)的求解過程即可得出S的解析式.然后根據(jù)函數(shù)的解析式來得出函數(shù)的最大值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的t的取值,然后根據(jù)P,Q的速度和t的取值,可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(4)本題其實(shí)主要是看P在B點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)∠OPQ的度數(shù)范圍,當(dāng)∠OBQ的度數(shù)大于90°,∠OCQ的度數(shù)小于90°時(shí),那么在AB,BC上分別有一個(gè)符合要求的點(diǎn)P,如果∠OBQ的度數(shù)小于90°時(shí)那么就沒有符合要求的點(diǎn),如果∠OBQ=90°,那么符合要求的點(diǎn)只有一個(gè).當(dāng)P,B重合時(shí),作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M,作PH⊥y軸于點(diǎn)H,然后比較OM和OQ的長即可得出∠OPQ的大致范圍,根據(jù)相似三角形OPH和OPM不難得出OM的長,然后比較OM,OQ的大小,如果OQ>OM則說明∠OPQ>90°,反之則小于90°,用同樣的方法可得出當(dāng)P與C重合時(shí)∠OPQ的大致取值范圍,然后根據(jù)上面的分析即可判定出有幾個(gè)符合要求的點(diǎn).
解答:解:(1)∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為,AB=10,
∴sin∠BAO==,
∴∠BAO=60度.

(2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.

(3)過P作PM⊥x軸,
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒.
∴t秒鐘走的路程為2t,即AP=2t,
又∵∠APM=30°,
∴AM=t,又OA=10,
∴OM=(10-t),即為三角形OPQ中OQ邊上的高,
而DQ=2t,OD=2,可得OQ=2t+2,
∴P(10-t,t)(0≤t≤5),
∵S=OQ•OM=(2t+2)(10-t),
=-(t-2+
∴當(dāng)t=時(shí),S有最大值為,此時(shí)P(,).

(4)當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè).
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),∠OPQ<90°,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí),OQ的長是12單位長度,
作∠OPM=90°交y軸于點(diǎn)M,作PH⊥y軸于點(diǎn)H,
由△OPH∽△OPM得:OM==11.5,
所以O(shè)Q>OM,從而∠OPQ>90度.
所以當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ=90°的點(diǎn)P有1個(gè).
②同理當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),可算得OQ=12+=17.8,
而構(gòu)成直角時(shí)交y軸于(0,),=20.2>17.8,
所以∠OCQ<90°,從而∠OPQ=90°的點(diǎn)P也有1個(gè).
所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ=90°的點(diǎn)P有2個(gè).
點(diǎn)評(píng):本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,要特別注意(2)中舍去速度為1.6的原因.
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(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變,那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大;沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小,當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由.

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(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變,那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大;沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小,當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由.

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(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變,那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大;沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小,當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說明理由.

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