Question

已知如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=4的拋物線(xiàn)y=ax²+2x與x軸相交于點(diǎn)B、O．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）連接AB，平移AB所在的直線(xiàn)，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，得到直線(xiàn)l．點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，在直線(xiàn)AB的上方是否存在一點(diǎn)Q，使以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△POB相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（規(guī)定：點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不為點(diǎn)O）

Answer 1

分析：（1）利用拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸求出a的值，從而得解；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線(xiàn)AB的解析式，再根據(jù)互相平行的直線(xiàn)的解析式的k值相等求出直線(xiàn)l的解析式，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求出點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，然后根據(jù)中點(diǎn)公式利用點(diǎn)A′、B的坐標(biāo)求出點(diǎn)P即可；
（3）根據(jù)直線(xiàn)l的解析式可得∠POB=45°，再求出OP、AB的長(zhǎng)度，然后分①∠BAQ=∠POB=45°時(shí)，②∠ABQ=∠POB=45°時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AQ的長(zhǎng)度，從而得解．

解答：解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-

2

2a

=4，
∴a=-

1

4

，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-

1

4

x²+2x；

（2）∵y=-

1

4

x²+2x=-

1

4

（x²-8x+16）+4=-

1

4

（x-4）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（4，4），
令y=0，則-

1

4

x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
則

4k+b=4 8k+b=0

，
解得

k=-1 b=8

，
所以，直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+8，
∵直線(xiàn)l為直線(xiàn)AB平移至經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，
∴直線(xiàn)l的解析式為y=-x，
如圖，取點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，則△PAB的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)，點(diǎn)A（-4，-4），
點(diǎn)P為線(xiàn)段A′B的中點(diǎn)，
∵

-4+8

2

=2，

-4+0

2

=-2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2）；

（3）∵直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+8，
∴直線(xiàn)AB與x軸、對(duì)稱(chēng)軸的夾角的銳角為45°，
又∵l∥AB，
∴∠POB=45°，
根據(jù)勾股定理，AB=

42+(8-4)2

=4

2

，
PO=

22+22

=2

2

，
①∠BAQ=∠POB=45°時(shí)，∵△POB∽△BAQ，
∴

PO

AB

=

OB

AQ

，
即

2 2

4 2

=

8

AQ

，
解得AQ=16，
∴Q的橫坐標(biāo)為16+4=20，縱坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（20，4）；
②∠ABQ=∠POB=45°時(shí)，∵△POB∽△ABQ，
∴

PO

AB

=

OB

BQ

，
即

2 2

4 2

=

8

BQ

，
解得BQ=16，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，16），
綜上所述，存在點(diǎn)Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△POB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸公式，拋物線(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（3）根據(jù)直線(xiàn)的解析式確定出45°是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論求解．