對于平面直角坐標系O中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點。

已知點D（，），E（0，-2），F(xiàn)（，0）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是__________；

②過點F作直線交軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（，）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑的取值范圍。

解析：【解析】(1) ①；

② 由題意可知，若點要剛好是圓的關(guān)聯(lián)點；

     需要點到圓的兩條切線和之間所夾

的角度為；

由圖可知，則，

連接，則；

∴若點為圓的關(guān)聯(lián)點；則需點到圓心的距離滿足；

由上述證明可知，考慮臨界位置的點，如圖2；

點到原點的距離；

過作軸的垂線，垂足為；

；

∴；

∴；

∴；


∴；

易得點與點重合，過作軸于點；

易得；

∴；

從而若點為圓的關(guān)聯(lián)點，則點必在線段上；

∴；

(2) 若線段上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，

  則這個圓的圓心應(yīng)在線段的中點；

考慮臨界情況，如圖3；

即恰好點為圓的關(guān)聯(lián)時，則；

∴此時；

故若線段上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，

這個圓的半徑的取值范圍為.

【點評】“新定義”問題最關(guān)鍵的是要能夠把“新定義”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識，通過第(2)問開

頭部分的解析，可以看出本題的“關(guān)聯(lián)點”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于倍半

徑的點.

了解了這一點，在結(jié)合平面直角坐標系和圓的知識去解答就事半功倍了.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•無錫）對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，P2）．
（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；
（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•燕山區(qū)一模）定義：對于平面直角坐標系中的任意線段AB及點P，任取線段AB上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段AB的距離，記作d（P→AB）．
已知O為坐標原點，A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m+4，n）是平面直角坐標系中四點．根據(jù)上述定義，解答下列問題：
（1）點A到線段OB的距離d（A→OB）=
2
2
2
2
；
（2）已知點G到線段OB的距離d（G→OB）=
5
，且點G的橫坐標為1，則點G的縱坐標為
1-
10
或1+
10
1-
10
或1+
10
．
（3）當m的值變化時，點A到動線段CD的距離d （A→CD）始終為2，線段CD的中點為M．
①在圖（2）中畫出點M隨線段CD運動所圍成的圖形并求出該圖形的面積．
②點E的坐標為（0，2），m＞0，n＞0，作MH⊥x軸，垂足為H．是否存在m的值，使得以A、M、H為頂點的三角形與△AOE相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點．已知點D（
1
2
，
1
2
），E（0，-2），F(xiàn)（2
3
，0）．
（1）當⊙O的半徑為1時，
①在點D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是
D，E
D，E
．
②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•房縣模擬）問題：對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，P2）．如：P（-2，3）、Q（2，5）則P、Q兩點的直角距離為d（P，Q）=|-2-2|+|3-5|=6
請根據(jù)根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）計算M（-2，7），N（-3，-5）的直角距離d（M，N）=
13
13
．
（2）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，則x與y之間滿足的關(guān)系式為
|x|+|y|=1
|x|+|y|=1
．
（3）設(shè)P0（x0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離，試求點M（4，2）到直線y=x+2的直角距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試（北京卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點。已知點D（，），E（0，－2），F(xiàn)（，0）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是       ；

②過點F作直線交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍。

 

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