Question

如圖，第一象限內的點A在一反比例函數的圖象上，過A作AB⊥x軸，垂足為B，連接AO，已知△AOB的面積為4．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若點A的縱坐標為4，過點A的直線與x軸交于P，且△APB與△AOB相似，求所有符合條件的點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點P、O、A的拋物線能否由拋物線經過平移得到？若能，請說明由拋物線如何平移得到；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反比例函數的性質即可得出k的值，即可得出答案；
（2）首先得出A點的坐標，再利用當△ABP∽△ABO時，以及當△PBA∽△ABO時，分別求出即可；
（3）根據當點P坐標是（4，0）或（10，0）時，拋物線的開口向下，不能由的圖象平移得到，當點P坐標是（-6，0）時，求出二次函數解析式即可得出平移過程．
解答：解：（1）設反比例函數的解析式為，
點A的坐標為（x，y），
∵S_△AOB=4，
∴，
∴xy=8，
∴；

（2）由題意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵點P在x軸上，設P點坐標為（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP與△ABO相似有兩種情況：
①當△ABP∽△ABO時，
有，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②當△PBA∽△ABO時，
有，
即，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合條件的點P坐標是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）當點P坐標是（4，0）或（10，0）時，拋物線的開口向下，
∴不能由的圖象平移得到，
當點P坐標是（-6，0）時，設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點P（-6，0）、A（2，4）與O（0，0），
∴，，c=0，
∴，
∴，
∴該拋物線可以由向左平移3個單位，向下平移個單位平移得到．
點評：此題主要考查了反比例函數的性質以及相似三角形的性質以及二次函數的平移等知識，相似三角形的判定與性質經常與二次函數綜合應用，同學們應特別注意．