Question

如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是

1. A.
   2個(gè)
2. B.
   3個(gè)
3. C.
   4個(gè)
4. D.
   5個(gè)

Answer 1

C
分析：根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對選項(xiàng)一一求證，判定正確選項(xiàng)．（根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證∠DCB=60°，由三角形內(nèi)角和外角定理可證∠DPC＞60°，所以DP≠DE）
解答：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE，故本選項(xiàng)正確；
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本選項(xiàng)正確；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本選項(xiàng)正確；
④已知△ABC、△DCE為正三角形，
故∠DCE=∠BCA=60°?∠DCB=60°，
又因?yàn)椤螪PC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°?∠DPC＞60°，
故DP不等于DE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤∵△ABC、△DCE為正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，
故本選項(xiàng)正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③⑤．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．需要學(xué)生將相關(guān)知識點(diǎn)融會(huì)貫通，綜合運(yùn)用．