Question

如圖，二次函數y=的圖象與x軸的交點是A(m，0)、B（n，0），與y軸的交點是C(0, 2)．
(1)求m、n的值．
(2)設P（x, y）（0< x < n）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．  
①線段PQ的長度是否存在最大值？如果存在，最大值是多少？如果不存在，請說明理由  
②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(1) ∵拋物線過C(0 ，2) ，∴OC=2．    
∵拋物線過A(m，0)、B(n，0)，   
 ∴m、n是一元二次方程的兩根，  解得=3， =6. 
 ∴m=3，n=6．      
(2)①存在．
  設直線BC的函數解析式為y=kx+b．  
則有解得
∴直線BC的函數解析式為y=．   ∵ 0< x <6．

∴當x=3時，線段PQ的長度取得最大值，最大值為1
②存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形．   分以下三種情況進行討論來求點P的坐標：
當∠OAQ =90°時，點P與點A重合，
∴ (3，0)．當∠QOA =90°時，點P與點C重合，
∴x =0（不合題意）
當∠OQA =90°時，設Po與x軸交于點D，如圖．    

∵ ∠QOD + ∠OQD =90°，∠OQD+ ∠AQD=90°,
∴∠QOD= ∠AQD．
又∵ ∠ODQ= ∠QDA =90°
∴△ODQ∽△QDA，
∴，即
∴．   整理得 =0，解得．  
∴，
∴．
綜上， ．