(2009•雞西)如圖,?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)求得一元二次方程的兩個(gè)根后,判斷出OA、OB長度,根據(jù)勾股定理求得AB長,那么就能求得sin∠ABC的值.
(2)易得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4),還需求得點(diǎn)E的坐標(biāo),OA之間的距離是一定的,那么點(diǎn)E的坐標(biāo)可能在點(diǎn)O的左邊,也有可能在點(diǎn)O的右邊.根據(jù)所給的面積可求得點(diǎn)E的坐標(biāo),把A、E代入一次函數(shù)解析式即可.然后看所求的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例,成比例就是相似三角形.
(3)根據(jù)菱形的性質(zhì),分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況,以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算.
解答:解:(1)解x2-7x+12=0,得x1=4,x2=3.
∵OA>OB
∴OA=4,OB=3.
在Rt△AOB中,由勾股定理有AB==5,
∴sin∠ABC=

(2)∵點(diǎn)E在x軸上,S△AOE=,即AO×OE=,
解得OE=.∴E(,0)或E(-,0).
由已知可知D(6,4),設(shè)yDE=kx+b,
當(dāng)E(,0)時(shí)有
解得
∴yDE=x-
同理E(-,0)時(shí),yDE=
在△AOE中,∠AOE=90°,OA=4,OE=;
在△AOD中,∠OAD=90°,OA=4,OD=6;
,
∴△AOE∽△DAO.

(3)根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù),OB=OC=3,
∴AO平分∠BAC,
①AC、AF是鄰邊,點(diǎn)F在射線AB上時(shí),AF=AC=5,
所以點(diǎn)F與B重合,
即F(-3,0),
②AC、AF是鄰邊,點(diǎn)F在射線BA上時(shí),M應(yīng)在直線AD上,且FC垂直平分AM,
點(diǎn)F(3,8).
③AC是對(duì)角線時(shí),做AC垂直平分線L,AC解析式為y=-x+4,直線L過(,2),且k值為(平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1),
L解析式為y=x+,聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn),
∴F(-,-),
④AF是對(duì)角線時(shí),過C做AB垂線,垂足為N,根據(jù)等積法求出CN=,勾股定理得出,AN=,做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F,AF=,過F做y軸垂線,垂足為G,F(xiàn)G=×=,
∴F(-,).
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)有四個(gè):F1(3,8);F2(-3,0);
F3(-,-);F4(-).
點(diǎn)評(píng):一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比;相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例;給定兩個(gè)點(diǎn)作為菱形的頂點(diǎn),那么這兩個(gè)點(diǎn)可能是菱形的對(duì)角所在的頂點(diǎn),也可能是鄰角所在的頂點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《圖形的相似》(05)(解析版) 題型:解答題

(2009•雞西)如圖,?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《四邊形》(11)(解析版) 題型:解答題

(2009•雞西)如圖,?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《一元二次方程》(05)(解析版) 題型:解答題

(2009•雞西)如圖,?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年黑龍江省雞西市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•雞西)如圖,?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點(diǎn),且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點(diǎn)的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案