Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過A，B，C三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點(diǎn)E，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段BC于點(diǎn)F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3；D（1，）；（2）P（3，）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），將點(diǎn)C（0，3）代入可求得a的值，將a的值代入可求得拋物線的解析式，配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）畫圖，先根據(jù)點(diǎn)B和C的坐標(biāo)確定直線BC的解析式，設(shè)P（m，-m2+m+3），則F（m，-m+3），表示PF的長，根據(jù)四邊形DEFP為平行四邊形，由DE=PF列方程可得m的值，從而得P的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4），

將點(diǎn)C（0，3）代入得：﹣8a=3，

解得：a=﹣，

y=﹣x2+x+3=﹣（x﹣1）2+，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+3，且頂點(diǎn)D（1，）；

（2）∵B（4，0），C（0，3），

∴BC的解析式為：y=﹣x+3，

∵D（1，），

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣+3=，

∴E（1，），

∴DE=-=，

設(shè)P（m，﹣m2+m+3），則F（m，﹣m+3），

∵四邊形DEFP是平行四邊形，且DE∥FP，

∴DE=FP，

即（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=，

解得：m1=1（舍），m2=3，

∴P（3，）．