Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）若AD=2，AC=，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證DC是⊙O的切線，只要連接OC，求證∠OCD=90°即可；
（2）求AB的長(zhǎng)，可以先證明△ACD～∽△ABC，得出比例關(guān)系．
解答：證明：（1）連OC．
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又OC=OA，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD．
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°．
又OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線．（4分）

（2）解：連接BC；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
又∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
由（1）可知∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴而AD=2．
∴，
∴，
故AB的長(zhǎng)為．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．